外国人が、観光などの短期滞在を除いて、一定期間日本に滞在するためには在留資格が必要になります。
また就労するためには、それぞれの活動内容に応じた在留資格を取得する必要があります。

一般的に行政書士が手掛ける手続きとしては、
①海外に居住する外国人を日本の会社が雇入れたい（在留資格認定証明書交付申請「技術・人文知識・国際業務」）
②日本に滞在する留学生（現在の在留資格は「留学」）を日本の会社に雇い入れたい（在留資格変更許可申請「留学」→「技術・人文知識・国際業務」
③現在雇い入れている外国人従業員の在留資格の期限が近付いてきた（在留資格更新許可申請）
④雇い入れた外国人の家族を日本に呼び寄せたい（在留資格認定証明書交付申請「家族滞在」）
⑤長年日本に居住している外国人が永住許可に切り替えたい（永住許可申請）
などが多いです。

または、
⑥雇用されていたが、独立して日本で会社を経営することになったということであれば「経営・管理」の在留資格に変更する必要がありますし、
⑦優秀な人材であればいわゆる高度人材と呼ばれる「高度専門職1号（イ）（ロ）（ハ）」に変更されることもありえます。

２０１８年現在、東京入国管理局では申請件数が非常に多いため審査時間も非常に長い傾向にあります。標準処理期間が60日であっても半年以上かかることもありました。申請時も時間帯によっては180分以上待ちなどはよくあるため、外国人本人が申請すると1日休みを潰さないといけないこともあります。
行政書士は予約制で申請できるためそこまで待ちません。申請取次制度は、外国人社員が休みを潰さずに済んで喜ばれるだけでなく、雇用側としても社員の稼働日数が減らずに済むのでなかなかいい制度だと考えています。